Статистические гипотезы и правила их проверки. Статистические критерии

Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистического анализа и моделирования: гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины, гипотезы об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей, гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности, гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками.

Пусть - независимая повторная выборка объема из некоторой генеральной совокупности с неизвестной функцией распределения .

Под статистической гипотезой понимается всякое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения. Гипотеза есть определенное утверждение, которое по отношению к реальной ситуации является или истинным, или ложным высказыванием. Простой статистической гипотезой называется предположение о соответствии неизвестной функции распределения некоторому конкретному распределению вероятностей. Сложной статистической гипотезой называется предположение о том, что неизвестное распределение принадлежит некоторому множеству распределений, состоящему более чем из одного элемента. Если удается выдвинуть две взаимоисключающие статистические гипотезы, содержащих в своей совокупности верное суждение о неизвестном распределении, то проверяемую гипотезу принято называть основной (или нулевой), а противоположную гипотезу - альтернативой (или конкурирующей гипотезой). Этапы проверки статистических гипотез. Формулировка основной гипотезы H0 и конкурирующей гипотезы H1. Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах. Задание уровня значимости α, отвечающей ошибкам первого рода, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о правдивости гипотезы. Расчёт статистики K критерия. Построение критической области. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику K и по попаданию (или непопаданию) в критическую область W выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы H0. Статистический критерий. Правило, определяющее условия, при которых статистическая гипотеза отвергается или не отвергается, называется статистическим критерием. Математическую основу критерия составляет выбираемая с учетом особенностей поставленной конкретной задачи специальная статистика , точное или приближенное распределение которой при выполнении гипотезы известно. В области возможных значений статистики критерия выделяется множество , называемое критической областью (областью отвержения гипотезы). При проверке гипотезы руководствуются следующим правилом: если значение статистики критерия для выборки принадлежит критической области , то гипотеза отвергается, в противном случае - не отвергается. В результате проверки гипотезы при заданном критерии ; возможны верные решения двух следующих видов: истинная гипотеза не отвергается; ложная гипотеза отвергается. Ошибка первого рода совершается, когда основная гипотеза верна, но отвергается в соответствии с заданным критерием . Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости (или размером) критерия : . На практике уровень значимости критерия задается изначально, исходя из потребностей реальных приложений и потенциальных последствий вероятных ошибок. Ошибка второго рода допускается, когда альтернативная гипотеза верна, но отвергается в соответствии с заданным критерием (т.е. если основная гипотеза не верна, но не отвергается). Величина , где - вероятность ошибки второго рода: , называется мощностью критерия . Статистические критерии подразделяются на следующие категории: Критерии согласия (Пирсона, Колмогорова-Смирнова) - проверка факта о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать, как критерии значимости. Критерии однородности (Смирнова, Вилкоксона-Манна-Уитни, Стьюдента, критерий дисперсионного анализа, критерий однородности дисперсий, критерий Бартлетта) - случайные величины исследуются на факт взаимного соответствия их законов распределения (подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров.

Другие статьи

Технико–экономическое обоснование производства цветной полиграфической продукции на МУП Полиграфист
Полиграфия представляет собой особую отрасль промышленности, предназначенную для удовлетворения потребностей в печатной продукции. Значимость данной отрасли чрезвычайно велика, хотя сама она занимает небольшой удельный вес в формировании внутреннего валового продукта страны и традицио ...