Интервальное оценивание коэффициентов уравнения регрессии

Регрессионный анализ - это статистический метод исследования зависимости случайной величины Y от переменных Xj (j = 1, 2, ., k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения Xj.

Наиболее часто используемая множественная линейная модель регрессионного анализа имеет вид:

y = β0 +β1хi1 + .+βjxij+ .+βkxik+εi (2.1)

где εi - случайные ошибки наблюдения, независимые между собой, имеют нулевую среднюю и дисперсию σ2

В матричной форме регрессионная модель имеет вид:

Y = Xβ + ε (2.2)

Значимость уравнения регрессии, т. е. гипотеза H0: β=0 (β0=β1= .=βk=0), проверяется по F-критерию, наблюдаемое значение которого определяется по формуле:

где QR=(Xb)T(Xb), Qост=(Y-Xb)T(Y-Xb)=Σ(yi-ŷi)2.

По таблице F-распределения для заданных α, ν1=κ+1, ν2=n−κ−1 находят Fкр.

Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т. е. гипотез H0: βj=0, где j=1,2, .k, используют t-критерий и вычисляют: . По таблице t-распределения для заданного α и ν= n-k-1, находят tкр.

Гипотеза H0 отвергается с вероятностью α, если tнабл>tкр. Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии βj значим, т. е. βj ≠0. В противном случае коэффициент регрессии незначим и соответствующая переменная в модель не включается. Тогда реализуется алгоритм пошагового регрессионного анализа, состоящий в том, что исключается одна из незначимых переменных, которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение tнабл. После этого вновь проводят регрессионный анализ с числом факторов, уменьшенным на единицу. Алгоритм заканчивается получением уравнения регрессии со значимым коэффициентами.

Наряду с точечными оценками bj генеральных коэффициентов регрессии βj, регрессионный анализ позволяет получать и интервальные оценки последних с доверительной вероятностью γ.

Интервальная оценка с доверительной вероятностью γ для параметра βj имеет вид:

где tα находят по таблице t-распределения при вероятности α =1−γ и числе степеней свободы ν=n−κ−1.

Другие статьи

Теневая экономика и причины ее возникновения
В экономической науке есть немало неисследованного. Но, пожалуй, трудно найти другой такой пример, когда масштабы экономического явления и степень его изученности были бы настолько несопоставимы. Эта проблема “теневой” экономики, которая охватывает все сферы жизнедеятельности общества ...