Понятие генеральной совокупности и выборки из нее
Независимость результатов наблюдений позволяет найти априорную вероятность появления одновременно всех экспериментальных данных, т.е. всего ряда наблюдений как произведение этих вероятностей:
Если рассматривать Q и как неизвестные параметры распределения, то, подставляя различные значения Q и
в эту формулу, мы будем получать различные значения вероятности
при каждом фиксированном ряде наблюдений
. При некоторых значениях
и
вероятность получения экспериментальных данных
достигает наибольшего значения. В соответствии с методом максимального правдоподобия именно эти значения и принимаются в качестве точечных оценок истинного значения и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.Таким образом, метод максимального правдоподобия сводится к отысканию таких оценок
и
, при которых функция правдоподобия
достигает наибольшего значения. Постоянный сомножитель
не оказывает влияния на решение и поэтому может быть отброшен. Полученные оценки
и
истинного значения и среднеквадратического отклонения называются оценками максимального правдоподобия.
Наряду с методом максимального правдоподобия при определении точечных оценок широко используется метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом среди некоторого класса оценок выбирают ту, которая обладает наименьшей дисперсией, т. е. наиболее эффективную оценку. Легко заметить, что среди всех линейных оценок истинного значения вида , где
- некоторые постоянные, именно среднее арифметическое
обращает в минимум дисперсию
. Поэтому для случая нормально распределенных случайных погрешностей оценки, получаемые методом наименьших квадратов, совпадают с оценками максимального правдоподобия.
Формально статистика может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра θ. Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.
Свойства точечных оценок:
Оценка называется несмещённой, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:
, где E обозначает математическое ожидание.
Оценка называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных точечных оценок.
Другие статьи
Технико-экономическое обоснование разработки инновационного проекта, снижающего трудоемкость изделия на предприятии отрасли
В настоящее время мировая экономика в большей степени представляет собой рыночную экономику, поэтому она требует постоянного пребывания новых видов промышленного производства, а учитывая, что современные технологии регулярно развиваются, то конкуренция весьма ощутима.
Все компании модернизируют тех ...